経済統計の使い方
統計初心者の社会人向けに、経済データの解説をしています。「まとめページ」をご覧くだされば、全体的な内容がわかると思います。
統計学・計量経済学

【統計学】母分散の推定|χ(カイ)二乗分布を利用して推定

母集団から抜き取った標本の分散(不偏分散)から、母集団の分散(母分散)を推定する方法です。不偏分散がχ(カイ)二乗分布に従うことを使って、推定します。

経済統計の使い方では、統計データの入手法から分析法まで解説しています。

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不偏分散の分布

母集団の分散を$\sigma^2$とし、標本から計算した分散(不偏分散)を$U^2$とすると、以下の式は、自由度n-1のχ(カイ)二乗分布に従います。χは、ギリシャ文字のカイです。

$T=\dfrac{ (n-1)U^2}{\sigma^2}$

χ二乗分布

まず、χ二乗分布について説明します。標本平均を$\bar{X } $ 、母集団の分散を$\sigma^2$とすると、χ二乗分布はXを標準化したものの二乗和で表されます。

$ T=( \dfrac{X_1-\bar{X} }{\sigma})^2+( \dfrac{X_2-\bar{X}}{\sigma})^2 +\dots+(\dfrac{X_n-\bar{X}}{\sigma})^2 $

$ =\dfrac{(n-1)}{\sigma^2}  \lbrack \dfrac{(X_1-\bar{x} )^2+(X_2-\bar{x})^2 + \dots +(X_n-\bar{X})^2)}{n-1} \rbrack$

χ二乗分布の特徴

χ二乗分布には以下の特徴があります。

  • 二乗和なので正の値
  • 左右非対称
  • 自由度で形が変わる
  • 自由度を指定すれば形は決まる

χ二乗分布の信頼区間

χ二乗分布の信頼区間は、エクセルの関数で調べることができます。

$ CHISQ.INV(確率,自由度)$

例えば、自由度9で95%信頼区間を調べる場合は、以下の関数を入力します。

$=CHISQ.INV(0.025,9)=2.7$

$=CHISQ.INV(0.975,9)=19.0$

95%の信頼区間は、2.7以上19.0以下だということがわかります。

区間推定の手順

•不偏分散($U^2$)を加工したものは、自由度n-1のχ二乗分布に従う。

•標本数10、信頼区間95%の場合、

$ 2.7≤ \dfrac{(n-1)U^2}{\sigma^2} ≤ 19.0 $

•その式を母集団の分散に関する式に変形する。

$ \dfrac{(n-1)U^2}{19.0}≤ \sigma^2≤ \dfrac{(n-1)U^2}{2.7}  $

計算例

  • サンプル数 10
  • 標本平均 9.90
  • 不偏分散 0.25

この時95%信頼区間で母分散を推定してみましょう。

不偏分散($U^2$)を加工したものは、自由度n-1のχ二乗分布に従います。

標本数10、信頼区間95%の場合、以下の式が成り立ちます。

$2.70≤ \dfrac{(n-1)U^2}{\sigma^2} ≤ 19.0$

この式を母集団の分散に関する式に変形します。

$ \dfrac{(n-1)U^2}{19.0} ≤ \sigma^2≤ \dfrac{(n-1)U^2}{2.7} $ 

答えは、母分散の95%信頼区間は0.118以上 0.833以下となります。

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