経済統計の使い方
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【計量経済学】不均一分散|有意でないものを有意としてしまう

最小二乗法が最適な推定値になるにはさまざまな条件がありますが、その一つに、「誤差の分散が均一である」があります。係数の標準偏差を計算する過程で、この仮定を使うため、この仮定が満たされないと、正しい係数の標準偏差が計算できないことになります。t値が大きめに計算されることがあるので、本来有意で無いものを有意であると判断する危険性があります。この記事では不均一分散とは何か、どのように対処したらよいかをわかりやすく解説します。

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不均一分散の例

標準的な最小二乗法では以下の式が成り立っています。

$ Y_i=\alpha + \beta X_i + e_i $

このケースでは、誤差の分散の均一を仮定していますが、たとえば、$X$の値に応じて誤差が増える場合を考えます。$e_i$は$-1~1$で平均0の乱数とします。

$u_i=X_ie_i$

$X$を1から50とし、それに対応する誤差を$u_i=X_ie_i$とします。$Y_i$を$1+0.5Y_i+u_i$として計算すると、$X_i$と$Y_i$の散布図は以下のようになります。$X_i$が大きくなると、$Y_i$の値は大きく上下に振れています。

また、$X_i$と$u_i$の散布図は以下のようになり、$X_i$が大きくなると$u_i$も大きくなり、誤差が均一な分散でないことがわかります。

不均一分散の問題点

不均一分散の問題点は、係数の推定値ではなく、係数の分散です不偏性一致性は満たされますが、効率性が満たされません。

誤差の分散が均一な場合は以下の式で表せます。

$ V(b)=\dfrac{\sigma^2}{\Sigma (x_i-\bar{x})^2}$

一方、誤差の分散が不均一の場合は、一つの分散で表せないため、$\sigma^2_i$とし、以下の式となります。係数の標準誤差やt値は、本来はこちらの式で推定する必要があります。

$ V(b)=\dfrac{\Sigma(x_i-\bar{x})^2\sigma^2_i}{(\Sigma (x_i-\bar{x})^2)^2}$

不均一分散の検定

不均一分散の検定の一つにホワイトの検定があります。誤差の二乗が説明変数や説明変数の二乗と相関があるかどうかを検定するものです。まず、通常の最小二乗法を適用します。

$ Y_i=\alpha + \beta X_i + e_i $

次に誤差の二乗を定数項と$X_i^2$、$X_i$に回帰します。

$ e_i^2=\alpha + \beta_1 X_i^2 + \beta_2 X_i + u_i $

$X_i^2$や$X_i$に係る係数が有意なら不均一分散があると判定します。

つまり帰無仮説 $ \beta_1=\beta_2=0 $に関してF検定をします。

不均一分散への対処

不均一分散に対処する方法として、標準誤差を計算しなおすという方法があります。不均一分散があったとしても、最小二乗法で推定した係数は不偏推定量で問題ありません。問題なのは係数の標準誤差なので、その計算法を工夫するということです。ホワイトの推定量(ロバスト標準誤差)などが考案されています。

ホワイトの推定量は、不明な$\sigma^2_i$の代わりに推計残差$ u_i=\hat{Y} – \alpha -\hat{\beta}X_i $の二乗を使うもので、以下の式で表されます。

$ V(b)=\dfrac{\Sigma(x-\bar{x_i})^2 u_i^2}{(\Sigma (x_i-\bar{x})^2)^2}$

加重最小二乗法

不均一分散の原因がわかっている場合に有効なのが、加重最小二乗法です。たとえば、冒頭の例のように、誤差が説明変数$X_i$の大きさに比例している場合です。この場合、被説明変数、説明変数ともに、$X_i$で割れば誤差は均一分散になります。式で書けば以下のようになります。これを推計すると係数の分散が正しいものになります。

$ Y_i=\alpha + \beta X_i + e_i $

$ \dfrac{Y_i}{X_i}= \dfrac{\alpha}{X_i} + \beta \dfrac{X_i}{X_i} + e_i $

$ \dfrac{Y_i}{X_i}= \alpha \dfrac{1}{X_i} + \beta + e_i $

EViewsで計算

Xに比例する誤差をそのまま使って、YをXに回帰する

ホワイトの検定

加重最小二乗法

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