【統計学】点推定｜母集団の分散の推定値には不偏分散を使う

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平均の推定値

標本平均の期待値は　$ \mu $

標本平均の期待値は母集団の平均と同じ$ \mu $になります。これは大数の法則と呼ばれ、標本数を大きくすると、標本平均は母集団の平均に一致します。

標本平均の分散は　$ \dfrac{\sigma^2}{n}$

標本数が少ないと、標本平均のばらつきは大きいですが、標本数が増えるに連れてばらつきが小さくなります。詳しい計算法は補論に書きました。

$ V[\bar{X}] =E[(\bar{X} – \mu )^2]=\dfrac{\sigma^2}{n}$

分散の推定値

標本分散の期待値は　$\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$

標本分散の期待値は母集団の分散である　$ \sigma^2 $にはなりません。詳しい計算法は補論に書きました。

$E[S^2]=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$

標本分散を $\dfrac{n}{n-1}$ 倍すれば期待値が母集団の分散になります。これが不偏分散です。標本分散は平均からの偏差の和を$n$で割りますが、不偏分散では$n-1$で割ります。

$E[U^2]=\dfrac{n}{n-1} E[S^2]=\dfrac{n}{n-1} \dfrac{1}{n} E[\sum^{n}_{i=1}(X_i-\bar{X})^2] $

$ = \dfrac{1}{n-1} E[\sum^{n}_{i=1}(X_i-\bar{X})^2] $

不偏性とは

不偏性とは、推定値が持つべき望ましい性質の一つです。「推定値の期待値が母集団の値に一致する」ということで、ずれない（偏りがない）ということです。

不偏分散は期待値が母集団の分散に一致するため、不偏分散と呼ばれます。

まとめ

	母集団	標本	標本平均	標本分散	不偏分散
分布	正規分布	正規分布	正規分布	カイ二乗分布
期待値	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$	$\sigma^2$
分散	$\sigma^2$	$\sigma^2$	$\dfrac{\sigma^2}{n}$	$\dfrac{定数}{n}$

（補論）標本平均の分散の計算

$ E[(\bar{X}-\mu)^2]=\dfrac{1}{n} \Sigma^n_{i=1}(X_i-\mu)^2 $

$=\dfrac{1}{n^2}((X_1-\mu)+(X_2-\mu)+\dots+(X_n-\mu))((X_1-\mu)+(X_2-\mu)+\dots+(X_n-\mu)) $

ランダムなサンプルは相関がないので、$E[(X_i-\mu)(X_j-\mu)]=E[(X_i-\mu)]E[(X_j-\mu)]=0(i \neq j)$

$ =\dfrac{1}{n^2} \displaystyle　\Sigma_{i=1}^n E[(X_i-\mu)^2]=\dfrac{1}{n^2}\Sigma^n_{i=1}\sigma^2=\dfrac{\sigma^2}{n}$

（補論）標本分散の期待値

$E[(X_i- \bar{X})^2]=E[((X_i-\mu)-(\bar{X}-\mu))^2]$

$=E[(X_i-\mu)^2-2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2 ]$

$=\sigma^2-2\dfrac{\sigma^2}{n}+\dfrac{\sigma^2}{n}=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$

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