経済統計の使い方
統計初心者の社会人向けに、経済データの解説をしています。「まとめページ」をご覧くだされば、全体的な内容がわかると思います。
統計学・計量経済学

【統計学】区間推定|信頼区間を提示して幅をもって示す

区間推定は、母集団から抜き取った標本から、母集団の平均値を推定するものです。ぴったり当てるのではなく幅をもって推定する方法です。

経済統計の使い方では、統計データの入手法から分析法まで解説しています。

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区間推定とは

点推定は、ピンポイントで、〇〇である!と言い切るものですが、区間推定はもう少し自信がなく〇〇から××までの間と推定するものです。

しかし、統計学による推定なので、95%の信頼区間で、などある確率のもとで幅をもって推定します。

母分散が分かっている場合

最初に、分散が既知な場合です。たとえば、分散=100、標準偏差=10などが分かっている場合です。 

使うのは標準正規分布に関する以下知識です。

標準正規分布をする確率変数Xが、95%の確率であてはまる範囲は、‐1.96X 1.96

標準化

推定しようと思う変数Xをまず標準化して、標準正規分布の世界に落とし込みます。

変数Xが標準正規分布(平均=0,標準偏差=1)になるように変換することを標準化といいます。

標準化すると確率分布(xの値が〇になるのは×%くらい)がわかるようになります。

$X$を変数 $\mu$を平均 $\sigma$を標準偏差とすると以下の式になります。

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$

標本平均の標準化

  • 標本平均($\bar{X}$ )の分布を考えます
  • 母集団の平均を$\mu$とします
  • 分散は既知で、$sigma^2$とします
  • $\bar{X}$を標準化したものは、標準正規分布に従います。標本平均の分散は$\dfrac{\sigma^2}{n}$なので以下の式が成り立ちます。

$ T= \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} $

区間推定の手順

標準正規分布になるように、標準化します。(標準正規分布なら、信頼区間がわかるため)

$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ ($\bar{X}$:標本平均、$\mu$:母集団の平均、$\sigma$:母集団の標準偏差、$n$:サンプル数)

信頼区間95%の場合

$-1.96 ≤  \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}  ≤ 1.96$

標本平均($\bar{X}$)と信頼区間の関係を式で表します。

$\mu -1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} ≤ \bar{X} ≤ \mu +1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

その式を母集団の平均に関する式に変形します。

$ \bar{X} -1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} ≤ \mu ≤ \bar{x} +1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $

母分散が未知の場合

  • 分散が未知な場合、分散は不偏分散を使います。
  • 平均も分散も標本から使うと、正規分布に従いません。
  • t分布に従います。

標本平均の標準化

  • 標本平均($\bar{X}$)の分布を考えます
  • 母集団の平均を $\mu$とします。
  • 分散は不偏分散$U^2$を使います(使うしかありません)。
  • $\bar{X}$を標準化したものは、自由度n-1t分布に従います。

$ T= \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{U}{\sqrt{n}}} $

t分布

t分布は正規分布とよく似ています。ただ、95%の信頼区間はサンプル数によってかなり変わります。標本平均を標準化したものは、サンプル数がnの時、自由度n-1のt分布に従います。

標準正規分布の95%信頼区間は1.96です。サンプル数が1000個になれば、標準正規分布とほぼ同じ分布になります。

区間推定の手順

標準正規分布になるように、標準化します。(標準正規分布なら、信頼区間がわかるため)

$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ (X ̅:標本平均、μ:母集団の平均、u:不偏分散から作った標準偏差、n:サンプル数=10の場合)

•信頼区間95%の場合

$-2.26 ≤  \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{U}{\sqrt{n}}}$ ($\bar{X} ≤ 2.26$

•標本平均(X ̅)と信頼区間の関係を式で表す。

$\mu -2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}} ≤ \bar{X} ≤ \mu +2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}}$

•その式を母集団の平均に関する式に変形する。

$ \bar{X} -2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}} ≤ \mu ≤ \bar{X} +2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}} $

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