区間推定は、母集団から抜き取った標本から、母集団の平均値を推定するものです。ぴったり当てるのではなく幅をもって推定する方法です。
経済統計の使い方では、統計データの入手法から分析法まで解説しています。
区間推定とは
点推定は、ピンポイントで、〇〇である！と言い切るものですが、区間推定はもう少し自信がなく〇〇から××までの間と推定するものです。
しかし、統計学による推定なので、95％の信頼区間で、などある確率のもとで幅をもって推定します。
母分散が分かっている場合
最初に、分散が既知な場合です。たとえば、分散＝100、標準偏差＝10などが分かっている場合です。
使うのは標準正規分布に関する以下の知識です。
標準正規分布をする確率変数Ｘが、95％の確率であてはまる範囲は、‐1.96≦X ≦1.96
標準化
推定しようと思う変数Xをまず標準化して、標準正規分布の世界に落とし込みます。
変数Xが標準正規分布（平均＝０，標準偏差＝１）になるように変換することを標準化といいます。
標準化すると確率分布（ｘの値が〇になるのは×％くらい）がわかるようになります。
$X$を変数 $\mu$を平均 $\sigma$を標準偏差とすると以下の式になります。
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
標本平均の標準化
- 標本平均（$\bar{X}$ )の分布を考えます
- 母集団の平均を$\mu$とします
- 分散は既知で、$sigma^2$とします
- $\bar{X}$を標準化したものは、標準正規分布に従います。標本平均の分散は$\dfrac{\sigma^2}{n}$なので以下の式が成り立ちます。
$ T= \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} $
区間推定の手順
標準正規分布になるように、標準化します。（標準正規分布なら、信頼区間がわかるため）
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ ($\bar{X}$:標本平均、$\mu$:母集団の平均、$\sigma$：母集団の標準偏差、$n$:サンプル数）
信頼区間95％の場合
$-1.96 ≤ \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} ≤ 1.96$
標本平均($\bar{X}$)と信頼区間の関係を式で表します。
$\mu －1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} ≤ \bar{X} ≤ \mu +1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
その式を母集団の平均に関する式に変形します。
$ \bar{X} －1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} ≤ \mu ≤ \bar{x} +1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} $
母分散が未知の場合
- 分散が未知な場合、分散は不偏分散を使います。
- 平均も分散も標本から使うと、正規分布に従いません。
- t分布に従います。
標本平均の標準化
- 標本平均（$\bar{X}$)の分布を考えます
- 母集団の平均を $\mu$とします。
- 分散は不偏分散$U^2$を使います（使うしかありません）。
- $\bar{X}$を標準化したものは、自由度n-1のt分布に従います。
$ T= \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{U}{\sqrt{n}}} $
ｔ分布
t分布は正規分布とよく似ています。ただ、95％の信頼区間はサンプル数によってかなり変わります。標本平均を標準化したものは、サンプル数がnの時、自由度n-1のt分布に従います。
標準正規分布の95％信頼区間は1.96です。サンプル数が1000個になれば、標準正規分布とほぼ同じ分布になります。
区間推定の手順
標準正規分布になるように、標準化します。（標準正規分布なら、信頼区間がわかるため）
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ (X ̅:標本平均、μ:母集団の平均、u：不偏分散から作った標準偏差、n:サンプル数＝10の場合）
•信頼区間95％の場合
$-2.26 ≤ \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{U}{\sqrt{n}}}$ ($\bar{X} ≤ 2.26$
•標本平均（X ̅)と信頼区間の関係を式で表す。
$\mu －2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}} ≤ \bar{X} ≤ \mu +2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}}$
•その式を母集団の平均に関する式に変形する。
$ \bar{X} －2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}} ≤ \mu ≤ \bar{X} +2.26 \dfrac{U}{\sqrt{n}} $
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