【統計学】母比率の推定｜リンゴが好きな人の割合を推定する

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比率の標本から比率を推定する

母集団に、リンゴが好きな人と嫌いな人がいるとき、「リンゴが好きな人の比率」（母比率）を標本の比率から推定します。

$X_i$は１か0をとるものとする。

通常の確率変数は、さまざまな値をとることができます。たとえば、サイコロの場合は、$X_i$は1～６を取ります。今回は、$X_i$が２つの値しかとらない場合です。起こる($X_i＝１$)か起こらない($X_i＝０$)かの2択の分布を考えます。これは、コインの表と裏、動物の雄と雌などのデータです。

確率ｐで１、確率（１－ｐ）で０となるとき、$X_i（i=1,2,3\dots n)$はベルヌーイ分布に従います。

• ベルヌーイ分布　　
• 平均$ｐ$　
• 分散　$p(1-p)$

また、nが十分大きい時、標本平均（R)は、中心極限定理により、平均$p$、分散$p(1-p)／ｎ$の正規分布に従います。

区間推定の手順

nが十分大きい時、標本平均（R)は、中心極限定理により、平均p、分散p(1-p)／ｎの正規分布に従います。

信頼区間95％の場合、以下の式が成り立ちます。

$-1.96\le {\displaystyle \frac{R-p}{\sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}}}\le 1.96$

標本平均（R)と信頼区間の関係を式で表します。

$p－1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}\le R\le p+1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}$

その式を母集団の平均に関する式に変形します。

$R－1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n)}}}\le p\le R+1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}}}$

ｎが十分大きい時、p（母集団の平均）はR（標本平均）で近似できます。（大数の法則）

$R－1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{R(1-R)}{n}}}\le p\le R+1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{R(1-R)}{n}}}$

計算例

あるYou tubeのサイトの認知率を大学生400人にきいたところ、320人が知っていた。この場合、日本全体の認知率は95％の信頼区間で何％から何になるか？

$R－1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{R(1-R)}{n}}}\le p\le R+1.96\sqrt{{\displaystyle \frac{R(1-R)}{n}}}$

• 母集団はｐ
• 標本平均Rは320／400＝0.8
• 標本数nは400

なので、以下の式となります。

0.7608≤p≤ 0.8392

つまり、認知率は76％以上83％以下です。

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