【統計学】母比率の推定｜リンゴが好きな人の割合を推定する

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比率の標本から比率を推定する

母集団に、リンゴが好きな人と嫌いな人がいるとき、「リンゴが好きな人の比率」（母比率）を標本の比率から推定します。

𝑋𝑖は１か0をとるものとする。

通常の確率変数は、さまざまな値をとることができます。たとえば、サイコロの場合は、𝑋𝑖は1～６を取ります。今回は、𝑋𝑖が２つの値しかとらない場合です。起こる(𝑋𝑖＝１)か起こらない(𝑋𝑖＝０)かの2択の分布を考えます。これは、コインの表と裏、動物の雄と雌などのデータです。

確率ｐで１、確率（１－ｐ）で０となるとき、𝑋𝑖⁡（𝑖 =1,2,3…𝑛)はベルヌーイ分布に従います。

• ベルヌーイ分布　　
• 平均ｐ　
• 分散　𝑝⁢(1 −𝑝)

また、nが十分大きい時、標本平均（R)は、中心極限定理により、平均𝑝、分散𝑝⁢(1 −𝑝)／ｎの正規分布に従います。

区間推定の手順

nが十分大きい時、標本平均（R)は、中心極限定理により、平均p、分散p(1-p)／ｎの正規分布に従います。

信頼区間95％の場合、以下の式が成り立ちます。

−1.96 ≤𝑅−𝑝√𝑝⁢(1−𝑝)𝑛 ≤1.96

標本平均（R)と信頼区間の関係を式で表します。

𝑝－1.96⁢√𝑝⁢(1−𝑝)𝑛 ≤𝑅 ≤𝑝 +1.96⁢√𝑝⁢(1−𝑝)𝑛

その式を母集団の平均に関する式に変形します。

𝑅－1.96⁢√𝑝⁢(1−𝑝)𝑛) ≤𝑝 ≤𝑅 +1.96⁢√𝑝⁢(1−𝑝)𝑛

ｎが十分大きい時、p（母集団の平均）はR（標本平均）で近似できます。（大数の法則）

𝑅－1.96⁢√𝑅⁢(1−𝑅)𝑛 ≤𝑝 ≤𝑅 +1.96⁢√𝑅⁢(1−𝑅)𝑛

計算例

あるYou tubeのサイトの認知率を大学生400人にきいたところ、320人が知っていた。この場合、日本全体の認知率は95％の信頼区間で何％から何になるか？

𝑅－1.96⁢√𝑅⁢(1−𝑅)𝑛 ≤𝑝 ≤𝑅 +1.96⁢√𝑅⁢(1−𝑅)𝑛

• 母集団はｐ
• 標本平均Rは320／400＝0.8
• 標本数nは400

なので、以下の式となります。

0.7608≤p≤ 0.8392

つまり、認知率は76％以上83％以下です。

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