【変数の工夫】課題１　多重共線性とは

次の推計をするとどうなるでしょうか。$X_1$ と$X_２$の相関が高く、$X_1$,$X_2$と$X_3$とは相関が低いです。

(1)$ Y＝\alpha ＋ \beta_1 X_1＋ \beta_2 X_1 $
(2)$ Y＝\alpha ＋ \beta_1 X_1＋ \beta_2 X_3 $
(3)$ Y＝\alpha ＋\beta_1 X_2 ＋ \beta_2 X_3 $
(4)$ Y＝\alpha ＋\beta_1 （X_1+X_2）＋ \beta_2 X_3 $

　(1)同じ説明変数を２つ入れた場合で、説明変数どうしが完全に相関している場合です。$X_1$一つだけを説明変数として回帰したときの係数を$\beta_3$とすると、$\beta_1+\beta_2=\beta_3$が成り立ちます。$\beta_1と\beta_2$の組み合わせは無限にあることになります。ただ、Excelでは$\beta_1$が0、$\beta_2$が$X_1$のみで回帰したときの係数が計算されます。

正解は$\beta_1=0,\beta_2=0.54$です。

（２）と（３）の違いは、説明変数$X_3$が共通で、それに加えて（２）では$X_1$が、（３）では$X_2$が説明変数と入っています。$X_１$と$X_2$は相関があるので、係数はほぼ同じとなります。

（２）の正解　$\beta_1=0.96,\beta_2=0.50 $

（３）の正解　$\beta_1=0.96,\beta_2=0.50$

（４）は、（２）や（３）の1つ目の説明変数の値が約2倍になった場合です。説明変数が2倍になるということは、同じ推定結果になるためには係数は半分程度になるはずです。ということで、正解は以下の通りです。

（４）の正解$\beta_1=0.49,\beta_2=0.50$

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