【計量経済学】シグマ（和記法）の公式のまとめ｜知っておくと便利

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シグマの計算

基本的な計算

$\sum _{i=1}^n{X}_i=X_1+\cdots +X_n$

定数の和

$\sum _{i=1}^{n}c=c+\cdots +c=nc$

定数倍の和

$\sum _{i=1}^{n}c{X}_i=c{X}_1+\cdots +c{X}_n=c\sum _{i=1}^n{X}_i$

和のシグマはシグマの和

$\sum _{i=1}^n(X_i+Y_i)$

$=(X_1+Y_1)+(X_2+Y_2)+\cdots +(X_n+Y_n)$

$=(X_1+X_2+\cdots +X_n)+(Y_1+Y_2+\cdots +Y_n)$

$=\sum _{i=1}^n{X}_i+\sum _{i=1}^n{Y}_i$

偏差の公式

計量経済学でよく使う式の変形に、平均値($\overline{X}$)からの差である偏差を使ったものがあります。詳しい変形はこの記事の最後にあります。

• 偏差の和

$\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})=0$

• 偏差の二乗和

$\sum _{i=1}^n(X-\overline{X}{)}^2=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})X_i$

• 偏差の積和

$\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})Y_i$

二重和（二重シグマ）の計算

二重和は、最初のシグマについて１から順に一つずつ取り出し、２番目のシグマについて足していくことを繰り返すものです。１変数で２つの属性を持ているもの（たとえば$X_{ij})$と２つの変数について適用する(たとえば$X_i$と$Yj$）場合がありますが、考え方は同じです。

• i=1について j=1からm までの和
• i=2について j=1からm までの和
• i=nについて　j=1からmまでの和
• それらすべての和

基本的な計算（１変数の場合）

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{X}_{ij}$

$=\sum _{i=1}^n(X_{i1}+\cdots +X_{im})$

$=(X_{11}+\cdots +X_{n1})+\cdots +(X_{1m}+\cdots +X_{nm})$

基本的な計算（２変数の場合）

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{X}_i{Y}_j$

$=X_1(Y_1+\cdots +Y_n)+X_2(Y_1+\cdots +Y_n)+\cdots +X_n(Y_1+\cdots +Y_m)$

順序を変えても同じ

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{X}_{ij}=\sum _{j=1}^m\sum _{i=1}^n{X}_{ij}$

積は分解できる

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{X}_i{Y}_j$

$=X_1(Y_1+\cdots +Y_n)+X_2(Y_1+\cdots +Y_n)+\cdots +X_n(Y_1+\cdots +Y_m)$

$=(X_1+\cdots +X_n)(Y_1+\cdots +Y_m)$

$=\sum _{i=1}^n{X}_i\sum _{j=1}^m{Y}_j$

シグマの二乗と二重シグマの関係

この式は結構使うのにあまり説明されていない気がします。左辺には$i$しかないのに、右辺になると$i$と$j$が出てきます。

$(\sum _{i=1}^n{X}_i{)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{X}_i{X}_j$

詳しく書くと

$(\sum _{i=1}^n{X}_i{)}^2$

$=(X_1+X_2+\cdots +X_n)(X_1+X_2+\cdots +X_n)$

$=(X_1{X}_1+X_1{X}_2+\cdots +X_1{X}_n)+(X_2{X}_1+X_2{X}_2+\cdots +X_2{X}_n)+(X_n{X}_1+X_n{X}_2+\dots X_n{X}_n)$

$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{X}_i{X}_j$ $(X_1+X_2+\dots X_n)(X_1+X_2+\dots X_n)$

偏差の公式を詳しく

• 偏差の和

$\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})$

$=\sum _{i=1}^n{X}_i-n\overline{X}=0$

• 偏差の二乗和

$\sum _{i=1}^n(X-\overline{X_i}{)}^2$

$=\sum _{i=1}^n(X-\overline{X_i})(X-\overline{X_i})$

$=\sum _{i=1}^n((X_i-\overline{X})X_i-(X_i-\overline{X})\overline{X})$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})X_i-\overline{X_i}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})X_i$

• 偏差の積和

$\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})Y_i-(X_i-\overline{X})\overline{Y})$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})Y_i-\overline{Y}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})Y_i$

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