経済統計の使い方
統計初心者の社会人向けに、経済データの解説をしています。「まとめページ」をご覧くだされば、全体的な内容がわかると思います。
エクセル

エクセル 系列の自己相関ーコクラン・オーカット法

最小二乗法が正しい結果を出すための仮定に、「誤差項に系列相関がない」があります。系列相関とは、過去の自分自身の値との相関のことですが、多くの場合系列相関が除去できていない場合が多いです。

これに対する対応法として、コクラン・オーカット法が考案されています。明示的に系列相関を仮定することで、系列相関のない誤差を使った推計ができるという方法です。

この方法をエクセルを使ってやってみます。

考え方

通常の最小二乗法は以下の式を推計します。

$ Y_t= \alpha + \beta X_t + u_t $

今回使ったデータの誤差$u_t$のグラフは以下のようになります。ランダムな動きとは違って、プラスの値の時はプラスの値が続き、マイナスの値の時はマイナスの値が続いています。誤差に系列相関がある例です。

系列相関のある誤差項の例

系列相関への対応として、コクラン・オーカット法があります。誤差に明示的に系列相関を想定し、以下の式を作ります。

$ u_t=\rho u_{t-1}+ \epsilon_t $

上記の基本式と、1期前の式に $\rho$ をかけた式を作ると、以下の式です。

$ Y_t= \alpha + \beta X_t + u_t $

$ \rho Y_{t-1}= \rho (\alpha + \beta X_{t-1} + u_{t-1}) $

辺々を引くと以下の式となります。それぞれの変数から1期前の変数×$\rho$ を引いたものになります。

$ Y_t- \rho Y_{t-1} =( \alpha-\rho \alpha) + \beta( X_t – \rho X_{t-1}) + (u_t – \rho u_{t-1}) $

上記の式を簡明に描くと以下のようになります。

$ Y’_t= \alpha’ + \beta’ X’_t + \epsilon_t $

ただし、それぞれの変数は以下を表します。

$ Y’_t=Y_t- \rho Y_{t-1} $

$ X’_t=X_t- \rho X_{t-1} $

$ \epsilon_t=u_t- \rho u_{t-1} $

$ \alpha’ = \alpha- \rho \alpha $

新たに作った式の誤差$ \epsilon_t $は系列相関が除去されていますので、最小二乗法で正しく推計できます。

実際の推定

実際には、$ \rho $ が判明してないので、まず、 $ \rho $ を推定する必要があります。以下の3段階で行います。

通常の最小二乗法を計算し、残差を計算する。

$ Y_t= \alpha + \beta X_t + u_t $

この回帰分析で$u_t$が得られます。

残差の自己相関係数を計算する

$ u_t=\rho u_{t-1}+ \epsilon_t $

$u_t$を$u_{t-1}$に回帰します。この回帰分析で$\rho$が得られます。

自己相関係数を使って、最小二乗法で計算する。

$ Y’_t= \alpha’ + \beta’ X’_t + \epsilon_t $

この回帰分析で、精度の高い回帰係数が得られます。$ \alpha $ は、$ \alpha’/(1 -\rho) $で得られます。

エクセルでの操作

通常の最小二乗法を計算し、残差を計算する

エクセルでは分析ツールの回帰分析を使います。エクセルによる通常の回帰分析の方法は、エクセル 回帰分析ーデータ範囲を設定するだけをご覧ください。

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今回は、山澤成康「実戦計量経済学入門」の実質GDPと実質民間最終消費のデータを使いました。データは第5章5.63にあります。

今回は推定するだけでなく、残差のデータを入手する必要があるので、出力オプションの残差にチェックを入れます。

推定結果は以下のようになります。この結果の下に、残差のデータが並んでいます。

残差の自己相関係数を計算する

残差のデータを使って、残差の自己相関係数を計算します。

残差の1期前のデータは、残差のデータを一行分だけ下にずらすと作れます。セルを一つ分挿入し、下にずらすと簡単にできます。

$ u_t=\rho u_{t-1}+ \epsilon_t $の式を推定します。この式には定数項がないので、推計は定数項無しで推定します。「定数に0を使用」にチェックを入れます。

推計結果は以下となります。係数$\rho$は、0.85になることがわかります。1期前の誤差との相関はかなり高いです。

自己相関係数を使って、最小二乗法で計算する。

次に、上記で推定した$\rho$を使って、再推定します。ここが作業としては最も面倒です。基本的には、$ X’_t=X_t- \rho X_{t-1} $という形の計算をエクセル上で行います。変形したXとYについて通常の最小二乗法を適用します。

推定結果は以下になります。定数項がマイナスになり、係数が0.54から0.55へと変化しています。元の式の定数項$\alpha$は  -304.656/(1-0.8541787)=-2089.24 です。

誤差の動きを見ると、系列相関がなくなっていることがわかります。

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