経済統計の使い方

統計初心者の社会人向けに、経済データの解説をしています。「まとめページ」をご覧くだされば、全体的な内容がわかると思います。

R

【計量経済学】【R】関数形｜線形でなくても予測できます。

yamasawa1962 2023年2月8日 / 2023年2月10日

最小二乗法は、 $Y_{i} = α + β X_{i} + e_{i}$ という関係を想定して推定します。 $X$ と $Y$ の散布図を描くと直線の関係にある場合です。しかし、こうした直線の関係になくても $X$ を加工することで、さまざまな変数の関係を推定することができます。

経済統計の使い方では、統計データの入手法から分析法まで解説しています。

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Contents

基本の形
逆数
２次関数
対数関数
指数関数
平方根
まとめ

基本の形

基本の形は、 $Y$ と $X$ が線形（1次式）を想定しています。

$Y_{i} = α + β X_{i} + e_{i}$

これは、 $X$ と $Y$ の散布図を描くと直線状に並んでいることを表します。

たとえば、 $Y_{i} ＝ 10 ＋２ X_{i}$ は以下のグラフです。誤差は除いているので、直線に並んでいます。

グラフはRで描いています。xに１から20までの数字を作り、ｘを加工してyを作成し、plotコマンドで散布図を描いています。以下のグラフもy<-10+2*xのｘを変形して描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*x
plot(x,y)

逆数

基本は線形ですが、 $X_{i}$ を加工することで、さまざまな関数を表すことができます。たとえば、 $X_{i}$ を逆数（ $1 / X_{i}$ ）に加工した計算式 $Y_{i} = 10 + 2 (1 / X_{i})$ の散布図を描くと以下のような双曲線になります。経済学ではフィリップスカーブ（物価と失業率の関係）がこの関係にあたります。 $1 / X$ を説明変数にして最小二乗法を適用すると、散布図が双曲線になる変数が推定できることがわかります。

このようにして、 $X$ と $Y$ が直接線形の関係になくてもXを加工すればさまざまな関数を推定できます。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*1/x
plot(x,y)

２次関数

$Y_{i} = α + β X_{i}^{2} + e_{i}$

散布図が以下のような形なら $Y$ は $X$ の２次関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*x^2
plot(x,y)

対数関数

$Y_{i} = α + β \log X_{i} + e_{i}$

散布図が以下のような形なら $Y_{i}$ は $X_{i}$ の対数関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*log(x)
plot(x,y)

指数関数

$Y_{i} = α + β e^{X_{i}} + e_{i}$

散布図が以下のような形なら $Y_{i}$ は $X_{i}$ の指数関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*exp(x)
plot(x,y)

平方根

$Y_{i} = α + β \sqrt{X_{i}} + e_{i}$

散布図が以下のような形なら $Y_{i}$ は $X_{i}$ の平方根となっており、無理関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*sqrt(x)
plot(x,y)

まとめ

最小二乗法は線形を仮定しています
$X_{i}$ を加工することでさまざまな関数計を推定できます
逆数、２次関数、対数関数などがあります

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