経済統計の使い方
統計初心者向けに、データや分析手法の解説をしています。「まとめページ」をご覧くだされば、全体的な内容がわかると思います。
R

【計量経済学】【R】関数形|線形でなくても予測できます。

最小二乗法は、𝑌𝑖 =𝛼 +𝛽𝑋𝑖 +𝑒𝑖という関係を想定して推定します。𝑋𝑌の散布図を描くと直線の関係にある場合です。しかし、こうした直線の関係になくても𝑋を加工することで、さまざまな変数の関係を推定することができます。

経済統計の使い方では、統計データの入手法から分析法まで解説しています。

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基本の形

基本の形は、𝑌𝑋が線形(1次式)を想定しています。

𝑌𝑖 =𝛼 +𝛽𝑋𝑖 +𝑒𝑖

これは、𝑋𝑌の散布図を描くと直線状に並んでいることを表します。

たとえば、𝑌𝑖10𝑋𝑖は以下のグラフです。誤差は除いているので、直線に並んでいます。

グラフはRで描いています。xに1から20までの数字を作り、xを加工してyを作成し、plotコマンドで散布図を描いています。以下のグラフもy<-10+2*xを変形して描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*x
plot(x,y)

逆数

基本は線形ですが、𝑋𝑖を加工することで、さまざまな関数を表すことができます。たとえば、𝑋𝑖逆数1/𝑋𝑖)に加工した計算式𝑌𝑖 =10 +2(1/𝑋𝑖)の散布図を描くと以下のような双曲線になります。経済学ではフィリップスカーブ(物価と失業率の関係)がこの関係にあたります。1/𝑋を説明変数にして最小二乗法を適用すると、散布図が双曲線になる変数が推定できることがわかります。

このようにして、𝑋𝑌が直接線形の関係になくてもXを加工すればさまざまな関数を推定できます。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*1/x
plot(x,y)

2次関数

𝑌𝑖 =𝛼 +𝛽𝑋2𝑖 +𝑒𝑖

散布図が以下のような形なら𝑌𝑋の2次関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*x^2
plot(x,y)

対数関数

𝑌𝑖 =𝛼 +𝛽log𝑋𝑖 +𝑒𝑖

散布図が以下のような形なら𝑌𝑖𝑋𝑖の対数関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*log(x)
plot(x,y)

指数関数

𝑌𝑖 =𝛼 +𝛽𝑒𝑋𝑖 +𝑒𝑖

散布図が以下のような形なら𝑌𝑖𝑋𝑖の指数関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*exp(x)
plot(x,y)

平方根

𝑌𝑖 =𝛼 +𝛽𝑋𝑖 +𝑒𝑖

散布図が以下のような形なら𝑌𝑖𝑋𝑖の平方根となっており、無理関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*sqrt(x)
plot(x,y)

まとめ

  • 最小二乗法は線形を仮定しています
  • 𝑋𝑖を加工することでさまざまな関数計を推定できます
  • 逆数、2次関数、対数関数などがあります

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