経済統計の使い方

統計初心者向けに、データや分析手法の解説をしています。「まとめページ」をご覧くだされば、全体的な内容がわかると思います。

R

【計量経済学】【R】関数形｜線形でなくても予測できます。

yamasawa1962 2023年2月8日 / 2023年2月10日

最小二乗法は、 $𝑌 𝑖 = 𝛼 + 𝛽 𝑋 𝑖 + 𝑒 𝑖$ という関係を想定して推定します。 $𝑋$ と $𝑌$ の散布図を描くと直線の関係にある場合です。しかし、こうした直線の関係になくても $𝑋$ を加工することで、さまざまな変数の関係を推定することができます。

経済統計の使い方では、統計データの入手法から分析法まで解説しています。

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Contents

基本の形
逆数
２次関数
対数関数
指数関数
平方根
まとめ

基本の形

基本の形は、 $𝑌$ と $𝑋$ が線形（1次式）を想定しています。

$𝑌 𝑖 = 𝛼 + 𝛽 𝑋 𝑖 + 𝑒 𝑖$

これは、 $𝑋$ と $𝑌$ の散布図を描くと直線状に並んでいることを表します。

たとえば、 $𝑌 𝑖 ＝ 10 ＋２ 𝑋 𝑖$ は以下のグラフです。誤差は除いているので、直線に並んでいます。

グラフはRで描いています。xに１から20までの数字を作り、ｘを加工してyを作成し、plotコマンドで散布図を描いています。以下のグラフもy<-10+2*xのｘを変形して描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*x
plot(x,y)

逆数

基本は線形ですが、 $𝑋 𝑖$ を加工することで、さまざまな関数を表すことができます。たとえば、 $𝑋 𝑖$ を逆数（ $1 / 𝑋 𝑖$ ）に加工した計算式 $𝑌 𝑖 = 10 + 2 (1 / 𝑋 𝑖)$ の散布図を描くと以下のような双曲線になります。経済学ではフィリップスカーブ（物価と失業率の関係）がこの関係にあたります。 $1 / 𝑋$ を説明変数にして最小二乗法を適用すると、散布図が双曲線になる変数が推定できることがわかります。

このようにして、 $𝑋$ と $𝑌$ が直接線形の関係になくてもXを加工すればさまざまな関数を推定できます。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*1/x
plot(x,y)

２次関数

$𝑌 𝑖 = 𝛼 + 𝛽 𝑋 2 𝑖 + 𝑒 𝑖$

散布図が以下のような形なら $𝑌$ は $𝑋$ の２次関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*x^2
plot(x,y)

対数関数

$𝑌 𝑖 = 𝛼 + 𝛽 l o g 𝑋 𝑖 + 𝑒 𝑖$

散布図が以下のような形なら $𝑌 𝑖$ は $𝑋 𝑖$ の対数関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*log(x)
plot(x,y)

指数関数

$𝑌 𝑖 = 𝛼 + 𝛽 𝑒 𝑋 𝑖 + 𝑒 𝑖$

散布図が以下のような形なら $𝑌 𝑖$ は $𝑋 𝑖$ の指数関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*exp(x)
plot(x,y)

平方根

$𝑌 𝑖 = 𝛼 + 𝛽 \sqrt 𝑋 𝑖 + 𝑒 𝑖$

散布図が以下のような形なら $𝑌 𝑖$ は $𝑋 𝑖$ の平方根となっており、無理関数になっています。

グラフはRで描いています。

x <- 1:20
y <- 10+2*sqrt(x)
plot(x,y)

まとめ

最小二乗法は線形を仮定しています
$𝑋 𝑖$ を加工することでさまざまな関数計を推定できます
逆数、２次関数、対数関数などがあります

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