経済統計の使い方では、統計データの入手法から分析法まで解説しています。
誤差項に自己相関がある場合
通常の最小二乗法は以下の式を推計します。
誤差項に自己相関（前期の値との相関）がある場合は、誤差項に関して以下の式が成り立つことになります。
誤差項に自己相関がある場合は、誤差の動きがランダムにならず、プラスの値の時はプラスの値が続き、マイナスの値の時はマイナスの値が続きます。系列相関があるとも呼びます。
誤差項に自己相関があるということは、最小二乗法が最適な推定値になるための仮定の一つである「誤差項に自己相関がなく、均一である」が満たされないことになります。不均一分散の一つで、誤差が過少評価されてしまいます。ｔ値が過大評価され、有意でない係数を有意であると判定する危険性ができきます。
ダービンワトソン比で検証
系列相関があるかどうかは、ダービン・ワトソン比で検証します。誤差項に自己相関があるかどうかを調べたものです。
誤差項と誤差項の1期前との相関係数は以下の式で求められます。相関係数の元になる共分散は、平均からの偏差の二乗を計算しますが、誤差の平均はゼロなので、変数の二乗和を使えばよいです。
ただ、小標本ではこの方法では検定できないため、ダービン・ワトソン比を使います。ダービン・ワトソン比は以下の式で表されます。
これは以下の式に展開できます。
大標本であれば、
ダービン・ワトソン比は、大標本では、相関係数の関数と考えられます。
誤差項に自己相関がない場合は２を示し、正の相関が強いと０に近づき、負の相関が強いと４に近づくということです。
コクラン・オーカット法などで対処
誤差項に自己相関がある場合、コクラン・オーカット法などで対処することになります。
コクラン・オーカット法では、残差から
元の式に残差の式を入れて一括して推計することも考えられます。最小二乗法では推計できませんが、最尤法などを使えば計算できます。
EViewsでは、説明変数の後にAR(1)を加えれば、誤差項の系列相関を含めた係数を最尤法で計算します。以下の例は、山澤成康『実戦計量経済学』で使ったものです。
まず、通常の最小二乗法で推計します。ダービン・ワトソン比は0.28なので、系列相関があることがわかります。
次に系列相関を想定した場合の結果です。説明変数にAR（１）を加えており、
| 通常の最小二乗法 | 系列相関を考慮した場合 | |
| GDP95の係数 | 0.54 | 0.54 |
| GDP95の標準誤差 | 0.005 | 0.016 |
| GDP95のｔ値 | 116.9 | 33.8 |
| ダービンワトソン比 | 0.28 | 2.14 |
まとめ
誤差項に自己相関がある場合の対処法について解説しました。誤差項に系列相関があると、t値などが過大になり、本来有意でない係数を有意と判断してしまう危険性があります。
系列相関があるかどうかは、ダービン・ワトソン比で判定します。２に近ければ系列相関はなく、０に近ければ正の系列相関、４に近ければ負の相関係数があります。
系列相関がある場合は、コクラン・オーカット法などを使って、系列相関を前提とした推計をします。
