経済統計の使い方
統計初心者の社会人向けに、経済データの解説をしています。「まとめページ」をご覧くだされば、全体的な内容がわかると思います。
統計学・計量経済学

【計量経済学】BLUEとは|最良線形不偏推定量について徹底解説

BLUEとは、最良線形不偏推定量(best linear unbiased estimator; BLUE)のことを表します。とても良い推定量ということで、最小二乗法はさまざまな仮定を満たせばBLUEになります。

ここでは以下の式の係数βの推定量に関して、最小二乗法がBLUEになることを説明します。

Yi=α+βXi

結論は以下の通りです。

線形推定量

最小二乗法の推定値β^Yiの線形関数(加重和)になっているので、線形推定量です。

β^=i=1n(XiX¯)Yii=1n(XiX¯)2

線形不偏線形推定量

最小二乗法の推定量β^の期待値はβなので、βは線形不偏推定量です。不偏性の条件を満たしています。

最良線形不偏推定量

一般的な線形不偏推定量の式から、分散を計算し、「一般的な線形不偏推定量の分散は、最小二乗法の分散にマイナスではない分散を加えたもの」という形なることを導きだし、最小二乗法の推定量の分散が最小であることを証明します。

線形推定量

線形推定量とは、推定量β^が、Yiの線形関数として表されるものです。最小二乗法は、以下のように表され、線形推定量です。

β^=i1n(XiX¯)Yii=1n(XiX¯)2

β^=1i=1n(XiX¯)2i1n(XiX¯)Yi

β^=1i=1n(XiX¯)2((X1X¯)Y1+(X2X¯)Y2(XnX¯)Yn)

これは以下のように書くことができます。

β^=n=1nwiYi

wiは以下の式です。

wi=(XiX^)i=1n(XiX¯)2

推定量β^が、Yiの線形関数として表されることがわかります。

線形不偏推定量

まず不偏性があるために係数にどのような条件が必要かを考えて、最小二乗法がその条件を満たしていることを説明していきます。

線形推定量は一般に以下で表されます。

C=c0+n=1nciYi

不偏性があるということはCの期待値E(C)βになるということです。βを使った式にするため、Yiα+βXiを代入します。

E(C)=co+i=1nciE(Yi)

=c0+i=1nci(α+βXi)

=c0+αi=1nci+βi1nciXi

Cの期待値E(C)βになるためには、ウエートcに関して以下の条件が必要です。これが不偏性の条件になります。

co=0,i=1nci=0,i=1nciXi=1

この条件が満たされれば、Cの期待値E(C)βになります。

E(C)=β

不偏性の条件

Cの期待値がβになるために、ウエートcに関して以下の条件が必要です。これが不偏性の条件になります。

co=0,i=1nci=0,i=1nciXi=1

最小二乗法の場合のウエートは以下で表されます。これが不偏性の条件を満たしているかどうかを一つ一つ見ていきます。

β^=n=1nwiYi

wi=(XiX¯i=1n(XiX¯)2

最小二乗法が不偏性の条件を満たすためには以下の条件が必要です。ciwiに変えただけです。

co=0,i=1nwi=0,i=1nwiXi=1

c0=0について

β^=n=1nwiYiの式に定数項はないので、c0=0は満たされています。

i=1n wi0について

ウエートwiの総和がゼロ」は以下のように満たされています。

i=1nwi=i=1n(XiX¯i=1n(XiX¯)2

=i=1nXii=1nX¯i=1n(XiX¯)2=0

i=1n wiXi=1について

ウエートwiXiの積の総和は1」は以下の式の変形で証明できます。

i=1nwiXi=i=1n(XiX¯)Xii=1n(XiX¯)2

i=1n(XiX¯)Xi=i=1n(XiX¯)2 という偏差に関する公式のうち「偏差の二乗和」を使うと、以下の式となります。

=i=1n(XiX¯)2i=1n(XiX¯)2=1

以上で、最小二乗法が不偏性を持つことが証明されました。

最良線形不偏推定量

最後に、線形不偏推定量の中で、最も分散が小さいことを証明します。最小二乗法のウエート以外の一般的な線形推定量を表すために、最小二乗法のウエートwidiを加えたウエートciを考えます。ci=wi+diです。diが非負になることが証明できれば、最小二乗法以外の線形推定量の分散は、最小二乗法より大きいことが証明できます。

まず、この一般的な線形推定量が不偏性を持つための条件を導きだします。

一般的な推定量の不偏性の条件

この推定量を変形していきます。最後の式には、Yi=α+βXi+uiを代入しています。

β~=i=1nciYi

=i=1n(wi+di)Yi

=i=1nwiYi+i=1ndiYi 

=i=1nwiα+i=1nwiβXi+i=1n+wiuii=1n+diα+i=1ndiβXi+i=1ndiui

不偏性の項で調べたように、最小二乗法のウエートwiには以下の性質があります。

  • i=1n wi
  • i=1n wiXi=1

これを使うと上記式の第1項と第2項は以下のようになります。

wiα=αwi=0

wiβXi=βwiXi=β

これを反映すると以下の式になります。

β~=β+i=1nwiui+i=1ndiα+i=1ndiβXi+i=1ndiui

期待値をとると、誤差項の平均はゼロなので、E(ui)=0になります。

E(β~)=E[β+i=1nwiui+i=1ndiα+i=1ndiβXi+i=1ndiui]

=β+i=1ndiα+i=1ndiβXi

=β+αi=1ndi+βi=1ndiXi

そしてこれが不偏推定量になるためには、上の式がβになる必要があるので、diに制約が加わります。

diに関する不偏性の条件は、 i=1ndi=0,i=1ndiXi=0です。

線形不偏推定量の分散

線形不偏推定量の一般形について、以下の形から出発します。上記で考えたのは、線形推定量でしたが、今回は線形不偏推定量なので、βˇと記号を変えました。

βˇ=i=1nciYi

=i=1n(wi+di)Yi

これを変形すると、以下の形になりました(上記不偏性の条件参照)。

βˇ=β+i=1nwiui+i=1ndiα+i=1ndiβXi+i=1ndiui

不偏性の条件である、 i=1ndi=0,i=1ndiXi=0を代入すると、より簡単な式になります。

βˇ=β+i=1nwiui+i=1ndiui

この推定量の分散を求めます。最後の式の変形には(i=1nXi)2=i=1nj=1nXiXj という2重和の公式を使っています。

σβˇ2=E(βˇβ)2

=E[β+i=1nwiui+i=1ndiuiβ]2

=E[(wi+di)ui]2

=E[i=1n(wi+di)2ui2+ij(wi+di)(wj+dj)uiuj]

誤差項にE(uiuj)=0(ij について)を仮定すると、第2項は0になります。

=E[i=1n(wi+di)2ui2]

E(ui2)は常にσ2なので、かっこの前に出すことができます。

=E[i=1n(wi+di)2ui2]

=E(ui2)i=1n(wi+di)2

=σ2(i=1nwi2+2i=1nwidi+i=1ndi2)

wi2 について

ウエートwiの二乗和にσ2は、最小二乗法の誤差項の分散になります。

wi2=(XiX¯(XiX¯)2)2

=(XiX¯)2((XiX¯)2)2

=1i=1n(XiX¯)2

σ2wi2=σ2(XiX¯)2=σβ^2

widiについて 

この項は、不偏性の条件であるdi=0,diXi=0を使うとゼロになることがわかります。

diwi=di((xiX^)(XiX^)2) 

=diXiX¯di(XiX¯)2=0

最終的な分散の式

σβˇ2=σβ^2+σ2di2

di2は負にならないので、一般的な線形不偏推定量の分散は、最小二乗法の推定量の分散と等しいか、大きいということなります。このことから、最小二乗法の推定量の分散が最も小さいということが証明されました。

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です

CAPTCHA