【統計学】母分散の推定|χ（カイ）二乗分布を利用して推定

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不偏分散の分布

母集団の分散を${\sigma }^2$とし、標本から計算した分散（不偏分散）を$U^2$とすると、以下の式は、自由度n-1のχ（カイ）二乗分布に従います。χは、ギリシャ文字のカイです。

$T={\displaystyle \frac{(n-1)U^2}{{\sigma }^2}}$

χ二乗分布

まず、χ二乗分布について説明します。標本平均を$\overline{X}$ 、母集団の分散を${\sigma }^2$とすると、χ二乗分布はXを標準化したものの二乗和で表されます。

$T=({\displaystyle \frac{X_1-\overline{X}}{\sigma }}{)}^2+({\displaystyle \frac{X_2-\overline{X}}{\sigma }}{)}^2+\cdots +({\displaystyle \frac{X_n-\overline{X}}{\sigma }}{)}^2$

$={\displaystyle \frac{(n-1)}{{\sigma }^2}}[{\displaystyle \frac{(X_1-\overline{x}{)}^2+(X_2-\overline{x}{)}^2+\cdots +(X_n-\overline{X}{)}^2)}{n-1}}]$

χ二乗分布の特徴

χ二乗分布には以下の特徴があります。

• 二乗和なので正の値
• 左右非対称
• 自由度で形が変わる
• 自由度を指定すれば形は決まる

χ二乗分布の信頼区間

χ二乗分布の信頼区間は、エクセルの関数で調べることができます。

$CHISQ.INV(\mathrm{確}\mathrm{率},\mathrm{自}\mathrm{由}\mathrm{度}）$

例えば、自由度９で95％信頼区間を調べる場合は、以下の関数を入力します。

$=CHISQ.INV(0.025,9)=2.7$

$=CHISQ.INV(0.975,9)=19.0$

95％の信頼区間は、2.7以上19.0以下だということがわかります。

区間推定の手順

•不偏分散（$U^2$)を加工したものは、自由度n-1のχ二乗分布に従う。

•標本数10、信頼区間95％の場合、

$2.7\le {\displaystyle \frac{(n-1)U^2}{{\sigma }^2}}\le 19.0$

•その式を母集団の分散に関する式に変形する。

${\displaystyle \frac{(n-1)U^2}{19.0}}\le {\sigma }^2\le {\displaystyle \frac{(n-1)U^2}{2.7}}$

計算例

• サンプル数　10
• 標本平均　9.90
• 不偏分散　0.25

この時95％信頼区間で母分散を推定してみましょう。

不偏分散（$U^2$）を加工したものは、自由度n-1のχ二乗分布に従います。

標本数10、信頼区間95％の場合、以下の式が成り立ちます。

$2.70\le {\displaystyle \frac{(n-1)U^2}{{\sigma }^2}}\le 19.0$

この式を母集団の分散に関する式に変形します。

${\displaystyle \frac{(n-1)U^2}{19.0}}\le {\sigma }^2\le {\displaystyle \frac{(n-1)U^2}{2.7}}$ 

答えは、母分散の95％信頼区間は0.118以上 0.833以下となります。

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