【計量経済学】期待値の公式｜計量経済学に使うものについて

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期待値の定義

期待値は確率変数を𝑋𝑖として、𝐸⁡[𝑋𝑖]と表します。

𝐸はexpectationの𝐸です。

𝑥𝑖となる確率が𝑝𝑖の時、以下の式で表されます。

𝐸⁡[𝑋] =𝑛∑𝑖=1𝑝𝑖⁢𝑥𝑖

期待値の線形性

定数の積と和については以下の式が成り立ちます。

𝐸⁡[𝑎⁢𝑋] =𝑎⁢𝐸⁡[𝑋]

𝐸⁡[𝑋 +𝑏] =𝐸⁡[𝑋] +𝑏

bは定数なので、以下が成り立ちます。

𝐸⁡[𝑏] =𝑏

和の期待値は期待値の和になります。

𝐸⁡[𝑋 +𝑌] =𝐸⁡[𝑋] +𝐸⁡[𝑌]

また、𝑋𝑖が確率変数でない決まった数字の場合も期待値をとることができます。最小二乗法の仮定として、「説明変数が確率変数でない」があり、結構使います。

𝐸⁡[𝑋𝑖] =𝑋𝑖⁡（𝑋𝑖⁡が⁢確⁢率⁢変⁢数⁢で⁢な⁢い⁢場⁢合）

期待値と分散

分散は、平均からのかい離の二乗和をサンプル数で割ったものなので以下が成り立ちます。

𝑉⁡[𝑋] =𝐸⁡[(𝑋−𝐸⁡(𝑋))2]

証明は省略しますが、以下の式が成り立ちます。

𝑉⁡(𝑋) =𝐸⁡[𝑋2] −(𝐸⁡[𝑋])2

計量経済学でてくる分散は誤差項(𝑢𝑖)に関するものです。

平均をゼロと仮定するので以下の式が成り立ちます。

𝐸⁡(𝑢𝑖) =0

誤差項の分散については𝜎2と書くことが多いです。𝑉⁡(𝑢𝑖) =𝐸⁡(𝑢2𝑖) −(𝐸⁡(𝑢𝑖)2)ですが、𝐸⁡(𝑢𝑖) =0なので以下になります。

𝑉⁡(𝑢𝑖) =𝐸⁡(𝑢2𝑖) =𝜎2

期待値と共分散

共分散は、2つの変数の偏差の和です。

𝐶⁢𝑜⁢𝑣⁡(𝑋𝑖,𝑌𝑖) =𝐸⁡[(𝑋𝑖 −𝐸⁡[𝑋])⁢(𝑌𝑖 −𝐸⁡[𝑌])] =𝐸⁡[𝑋⁢𝑌] −𝐸⁡[𝑋]⁢𝐸⁡[𝑌]

𝑋𝑖と𝑌𝑖に相関がない場合、共分散はゼロになります。

誤差項については、互いに相関がないため、共分散がゼロという仮定を置きます。

𝐶⁢𝑜⁢𝑣⁡(𝑢𝑖,𝑢𝑗) =0

最小二乗法の仮定を書くと…

以下の記号を使って、最小二乗法の仮定を書くと、以下のようになります。

1. 説明変数は確率変数ではない　𝐸⁡[𝑋𝑖] =𝑋𝑖
2. 誤差の期待値は０　　𝐸⁡(𝑢𝑖) =0
3. 誤差の分散は均一 　𝑉⁡(𝑢𝑖) =𝐸⁡(𝑢2𝑖) =𝜎2
4. 誤差は相互に相関しない 　𝐶⁢𝑜⁢𝑣⁡(𝑢𝑖,𝑢𝑗) =𝐸⁡(𝑢𝑖⁢𝑢𝑗) =0
5. 誤差は正規分布

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