【統計学】点推定｜母集団の分散の推定値には不偏分散を使う

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平均の推定値

標本平均の期待値は　𝜇

標本平均の期待値は母集団の平均と同じ𝜇になります。これは大数の法則と呼ばれ、標本数を大きくすると、標本平均は母集団の平均に一致します。

標本平均の分散は　𝜎2𝑛

標本数が少ないと、標本平均のばらつきは大きいですが、標本数が増えるに連れてばらつきが小さくなります。詳しい計算法は補論に書きました。

𝑉⁡[¯𝑋] =𝐸⁡[(¯𝑋–𝜇)2] =𝜎2𝑛

分散の推定値

標本分散の期待値は　𝑛−1𝑛⁢𝜎2

標本分散の期待値は母集団の分散である　𝜎2にはなりません。詳しい計算法は補論に書きました。

𝐸⁡[𝑆2] =𝑛−1𝑛⁢𝜎2

標本分散を 𝑛𝑛−1 倍すれば期待値が母集団の分散になります。これが不偏分散です。標本分散は平均からの偏差の和を𝑛で割りますが、不偏分散では𝑛 −1で割ります。

𝐸⁡[𝑈2] =𝑛𝑛−1⁢𝐸⁡[𝑆2] =𝑛𝑛−1⁢1𝑛⁢𝐸⁡[∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖−¯𝑋)2]

=1𝑛−1⁢𝐸⁡[∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖−¯𝑋)2]

不偏性とは

不偏性とは、推定値が持つべき望ましい性質の一つです。「推定値の期待値が母集団の値に一致する」ということで、ずれない（偏りがない）ということです。

不偏分散は期待値が母集団の分散に一致するため、不偏分散と呼ばれます。

まとめ

	母集団	標本	標本平均	標本分散	不偏分散
分布	正規分布	正規分布	正規分布	カイ二乗分布
期待値	𝜇	𝜇	𝜇	𝑛−1𝑛⁢𝜎2	𝜎2
分散	𝜎2	𝜎2	𝜎2𝑛	定⁢数𝑛

（補論）標本平均の分散の計算

𝐸⁡[(¯𝑋−𝜇)2] =1𝑛⁢Σ𝑛𝑖=1⁢(𝑋𝑖−𝜇)2

=1𝑛2⁢((𝑋1 −𝜇) +(𝑋2 −𝜇) +⋯ +(𝑋𝑛 −𝜇))⁢((𝑋1 −𝜇) +(𝑋2 −𝜇) +⋯ +(𝑋𝑛 −𝜇))

ランダムなサンプルは相関がないので、𝐸⁡[(𝑋𝑖 −𝜇)⁢(𝑋𝑗 −𝜇)] =𝐸⁡[(𝑋𝑖 −𝜇)]⁢𝐸⁡[(𝑋𝑗 −𝜇)] =0⁢(𝑖 ≠𝑗)

=1𝑛2⁢　Σ𝑛𝑖=1⁢𝐸⁡[(𝑋𝑖−𝜇)2] =1𝑛2⁢Σ𝑛𝑖=1⁢𝜎2 =𝜎2𝑛

（補論）標本分散の期待値

𝐸⁡[(𝑋𝑖−¯𝑋)2] =𝐸⁡[((𝑋𝑖−𝜇)−(¯𝑋−𝜇))2]

=𝐸⁢[(𝑋𝑖−𝜇)2 −2⁢(𝑋𝑖 −𝜇)⁢(¯𝑋 −𝜇) +(¯𝑋−𝜇)2]

=𝜎2 −2⁢𝜎2𝑛 +𝜎2𝑛 =𝑛−1𝑛⁢𝜎2

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