【統計学】点推定｜母集団の分散の推定値には不偏分散を使う

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平均の推定値

標本平均の期待値は　$\mu$

標本平均の期待値は母集団の平均と同じ$\mu$になります。これは大数の法則と呼ばれ、標本数を大きくすると、標本平均は母集団の平均に一致します。

標本平均の分散は　${\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$

標本数が少ないと、標本平均のばらつきは大きいですが、標本数が増えるに連れてばらつきが小さくなります。詳しい計算法は補論に書きました。

$V[\overline{X}]=E[(\overline{X}–\mu {)}^2]={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$

分散の推定値

標本分散の期待値は　${\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\sigma }^2$

標本分散の期待値は母集団の分散である　${\sigma }^2$にはなりません。詳しい計算法は補論に書きました。

$E[S^2]={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\sigma }^2$

標本分散を ${\displaystyle \frac{n}{n-1}}$ 倍すれば期待値が母集団の分散になります。これが不偏分散です。標本分散は平均からの偏差の和を$n$で割りますが、不偏分散では$n-1$で割ります。

$E[U^2]={\displaystyle \frac{n}{n-1}}E[S^2]={\displaystyle \frac{n}{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{n}}E[\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2]$

$={\displaystyle \frac{1}{n-1}}E[\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2]$

不偏性とは

不偏性とは、推定値が持つべき望ましい性質の一つです。「推定値の期待値が母集団の値に一致する」ということで、ずれない（偏りがない）ということです。

不偏分散は期待値が母集団の分散に一致するため、不偏分散と呼ばれます。

まとめ

	母集団	標本	標本平均	標本分散	不偏分散
分布	正規分布	正規分布	正規分布	カイ二乗分布
期待値	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\sigma }^2$	${\sigma }^2$
分散	${\sigma }^2$	${\sigma }^2$	${\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$	${\displaystyle \frac{\mathrm{定}\mathrm{数}}{n}}$

（補論）標本平均の分散の計算

$E[(\overline{X}-\mu {)}^2]={\displaystyle \frac{1}{n}}{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$

$={\displaystyle \frac{1}{n^2}}((X_1-\mu )+(X_2-\mu )+\cdots +(X_n-\mu ))((X_1-\mu )+(X_2-\mu )+\cdots +(X_n-\mu ))$

ランダムなサンプルは相関がないので、$E[(X_i-\mu )(X_j-\mu )]=E[(X_i-\mu )]E[(X_j-\mu )]=0(i\ne j)$

$={\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu {)}^2]={\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n{\sigma }^2={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}}$

（補論）標本分散の期待値

$E[(X_i-\overline{X}{)}^2]=E[((X_i-\mu )-(\overline{X}-\mu ){)}^2]$

$=E[(X_i-\mu {)}^2-2(X_i-\mu )(\overline{X}-\mu )+(\overline{X}-\mu {)}^2]$

$={\sigma }^2-2{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\sigma }^2$

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